유효숫자 significant digit

유효숫자

유효숫자란, 근사값을 나타내는 숫자 가운데, 믿을 수 있는 숫자가 유효숫자이다. 오차의 범위를 정확하게 표기하기 위하여 사용하는 “측정값이나 계산값의 의미있는 수”를 의미한다. 또한 유효숫자의 마지막 숫자는 (반올림 등으로 인한) 불확실한 숫자를 뜻할 수 있다. 그러므로 유효숫자는 수의 정확도에 영향을 주는 숫자이다. 보통 다음의 경우를 제외하고 모든 숫자는 유효숫자이다.

• 0.00012의 1 앞에 있는 0들처럼 자리수를 표시하기 위한 0
• 유효숫자가 아닌 자리의 숫자와 연산하여 영향받은 자리의 숫자
• 측정 기구의 한계로 정확하지 않은 자리의 숫자

유효숫자의 개념은 반올림과 함께 사용할 수도 있다. 반올림하여 유효숫자 n개를 만드는 연산은 n의 자리에서 반올림하는 것과 달리 더욱 다양한 자릿수의 수를 다룰 수 있다. 이를테면, 어떤 길이의 측정값이 24.0 m인 경우 끝자리의 0도 2, 4와 같이 측정해서 얻어진 유효한 숫자이다. 이때 2, 4, 0이 바로 유효숫자이다. 숫자 하나 하나를 일컫기 때문에 '유효수'라고 하지 않고, '유효숫자'라고 하고 있다. 또, 유효숫자는 유효한 숫자 즉, '효과나 효력이 있는 숫자'를 간단히 한 것이다. 유효숫자를 영어로는 significant digit라고 한다. significant는 '의미 있는', digit는 (아라비아) 숫자 0. 1. 2, ..., 9를 의미하므로 significant digit에는 '의미 있는 (아라비아) 숫자'의 뜻이 있다. 북한에서는 '믿을수자'라고 한다. 이 용어는 '믿을 수 있는 숫자'라는 의미에서 온 것이다.

유효숫자 예제

• 모든 자리의 숫자가 0이 아닌 경우 모두 유효숫자로 추정된다. 예를 들면 123.45는 다섯 개(1, 2, 3, 4, 5)의 유효숫자를 가진다.
• 0이 아닌 숫자로 둘러싸인 자리의 0은 유효숫자이다. 예를 들면 101.12는 다섯 개(1, 0, 1, 1, 2)의 유효숫자를 가진다.
• 단지 자리수만 표시하기 위한 0은 유효숫자가 아니다. 예를 들면 0.00012는 두 개(1, 2)의 유효숫자를 가진다.
• 소수점 아래의 끝자리에 있는 0들은 유효숫자이다. 예를 들면 12.2300은 여섯 개(1, 2, 2, 3, 0, 0)의 유효숫자를 가진다. 120.00은 다섯 개(1, 2, 0, 0, 0)의 유효숫자를 가진다.
• 소수점을 포함하지 않는 수 중에서 유효숫자의 뒤를 따르는 0은 유효숫자일 수도 있고 유효숫자가 아닐 수도 있다. 예를 들어 1300은 정확히 1300인 경우에 네 개(1, 3, 0, 0)의 유효숫자를 갖고, 1270을 십의 자리에서 반올림한 결과인 경우 두 개(1, 3)의 유효숫자를 가진다고 볼 수 있다. 이것을 구분하기 위해 다양한 방법이 있다. 유효숫자인 0의 위 또는 아래에 바(bar)를 표시하거나, 정수 부분이 모두 유효숫자임을 나타낼 때에는 정수의 일의 자리 뒤에 소수점을 붙여 유효숫자임을 표시할 수 있다. 또는 숫자 뒤에 유효숫자가 몇 개라고 직접 표시하는 방법도 있다. 정해진 표준은 없다.
• 0.000과 같이 모든 자리의 숫자가 0이면 유효숫자가 없는 것이다. 실제 측정값보다 불확실성의 정도가 크기 때문이다.
• 과학적 기수법(Scientific notation)에서는 자리수가 10의 지수로 표현되고 유효숫자만 이를 곱하는 수로 표현된다. 예컨대 15000은 유효숫자가 네 개라고 할 때 1.500×10^4으로 표현된다.
• 광속, 아보가드로 수와 같은 과학적 상수와, 물건의 개수를 센 것의 유효숫자는 무한대이다. 즉 이러한 상수는 측정값끼리의 계산 결과에 영향을 주지 않는다.
• 1보다 작은 숫자의 자릿수 0은 항상 유효하지 않다: 0.5 cm, 0.05 cm, 0.005 cm : 모두 유효숫자 한자리.
• 1보다 큰 숫자의 자릿수 표시 0은 대개 유효하지 않다: 50 cm, 500 cm, 5000 cm: 모두 유효숫자 1자리. 예외: 2.0 L은 2000 mL에서 유효숫자 2자리로 2.0×10^3로 정확히 표기해야 함.

유효숫자 계산

• 덧셈과 뺄셈에서 계산된 결과는 원래 있던 수의 소수점 아래 자리보다 더 낮은 유효숫자를 가질 수 없다. 즉 측정값의 덧셈과 뺄셈에서 답은 불확정성이 가장 큰 값(소수점 이하 유효숫자 자리수가 제일 작은 것)에 의해 결정된다. 예를 들어, 유효숫자 세 개인 수 3.14와 유효숫자 5개인 8.9714를 더하면 산술적으로는 12.1114가 나오지만, 3.14에 의해 자리까지만이 유효한 결과로 판단되어 결과는 12.11이 된다.

  5 + 5.0 + 5.00 = 15.00 => 15    
  2.079 - 0.12 = 1.977 => 1.98

• 곱셈과 나눗셈에서, 계산된 결과는 두 측정치 중 유효숫자가 적은 쪽과 같은 유효숫자를 가진다. 예를 들어, 2.56 × 12.8690의 산술적 계산결과는 32.94464이지만, 2.56의 유효숫자가 3개이므로 유효한 결과는 32.9이다.

  5.15 × 2.3 = 11.845 => 12
  2.8 × 4.5039 = 12.61092 => 13

• 세 개 이상의 숫자를 연속적으로 계산할 때, 중간의 연산 결과는 그 중간 연산으로 계산이 끝날 때의 유효숫자 개수보다 한 개 더 많다.

  (7.8-0.34) / (1.15+0.82) = 7.46 / 1.97 
                           = 7.5 / 1.97 
                           = 3.807106598984772 => 3.8

• 반올림에서 5미만의 숫자는 버림하며 5초과의 숫자는 올림한다. 5의 경우에는 5의 앞자리가 홀수인 경우엔 올림을 하고 짝수인 경우엔 버림을 한다.

• 부피 측정기구의 경우에는 눈대중으로 숫자를 읽어야하는 경우가 있다. 하지만 눈대중으로 읽은 숫자까지 유효숫자로 칭하며, 단지 그 숫자가 눈대중으로 읽었다는 사실만을 인식하고 있으면 된다.