등비수열 합과 극한 문제

등비수열 합과 극한 문제 001

공비가 $2$인 등비수열 $\{ a_n \}$의 첫째항 부터 제$n$항 까지의 합 $S_n$이 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{S_n}{2^n} = 5$을 만족 시킬때, 첫째항 $a_1$의 값은?

공비가 $2$인 등비수열에서 $a_1 = a$라 하면,

$\begin{align*} a_2 &= a \times 2 ,\\ a_3 &= a \times 2^2 ,\\ a_4 &= a \times 2^3 ,\\ &\vdots \\ a_8 &= a \times 2^7 ,\\ &\vdots \\ a_n &= a \times 2^{n-1} ,\\ \end{align*}$

이 등비수열의 첫째항 부터 $n$항 까지의 합 $S_n$은

$$S_n = a + 2a + 2^2a + 2^3a+ \dots + 2^{n-1}a$$

이고, 양변에 공비 2를 공하면

$$2S_n = 2a + 2^2a + 2^3a + 2^4a+ \dots + 2^{n}a$$ 이다. 아래식에서 위식을 빼보면

$$2S_n - Sn = 2^na - a = a (2^n - 1)$$

$$S_n = a (2^n - 1)$$ 이다. 이것을 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{S_n}{2^n} = 5$ 여기에 $S_n$에 대입하면 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{S_n}{2^n} = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{a (2^n - 1)}{2^n}$ 이다.

$n\rightarrow \infty$인 경우엔 $n$을 포함하는 식의 값이 $\infty$가 되는 값을 나누어 주면 된다. 따라서 분수식 분모 분자를 모두 $2^n$으로 나누어 준다.

$\require{cancel}\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{a (2^n - 1)}{2^n} = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{a (\cancel{2^n} - 1/2^n)}{\cancel{2^n}} = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} a(1-\frac{1}{2^n}) = a$. $\left(\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2^n} = 0 \right)$

따라서 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{S_n}{2^n} = a = 5$ 이다.